திசையன்களின் நாற்பெருக்கம்

கணிதத்தில் திசையன்களின் நாற்பெருக்கம் (quadruple product) என்பது யூக்ளிடிய முப்பரிமாண வெளியில் அமையும் நான்கு திசையன்களின் பெருக்கலாகும். இந்நாற்பெருக்கத்தில் திசையிலி நாற்பெருக்கம் மற்றும் திசையன் நாற்பெருக்கம் என இரண்டு வகைகள் உள்ளன.

திசையிலி நாற்பெருக்கம்

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளியில் அமைந்த நான்கு திசையன்கள் a, b, c, d என்க.

இவற்றை இரு சோடிகளாக எடுத்துக் கொண்டு ஒவ்வொரு சோடியின் குறுக்குப் பெருக்கல் காண அதன் முடிவுகள் இரு திசையன்களாகக் கிடைக்கும். இவ்விரண்டு புதிய திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கலே எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட நான்கு திசையன்களின் திசையிலி நாற்பெருக்கம். இறுதியாகக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஒரு திசையிலியாக அமைவதால் இந்நாற்பெருக்கம் திசையிலி நாற்பெருக்கமென அழைக்கப்படுகிறது.

a, b, c, d -திசையன்களின் திசையிலி நாற்பெருக்கம்:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,$

இந்நாற்பெருக்கத்தின் மதிப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .$

பின்வரும் அணிக்கோவை மூலமாகவும் இந்நாற்பெருக்கத்தின் மதிப்பைக் காணலாம்:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .$

திசையன் நாற்பெருக்கம்

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளியில் அமைந்த நான்கு திசையன்கள் a, b, c, d என்க.

இவற்றை இரு சோடிகளாக எடுத்துக் கொண்டு ஒவ்வொரு சோடியின் குறுக்குப் பெருக்கல் காண அதன் முடிவுகள் இரு திசையன்களாகக் கிடைக்கும். மீண்டும் இவ்விரண்டு புதிய திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கலே எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட நான்கு திசையன்களின் திசையன் நாற்பெருக்கம். இறுதியாகக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஒரு திசையனாக அமைவதால் இந்நாற்பெருக்கம் திசையன் நாற்பெருக்கமென அழைக்கப்படுகிறது.

a, b, c, d -திசையன்களின் திசையன் நாற்பெருக்கம்:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\,$

இந்நாற்பெருக்கத்தின் மதிப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=[\mathbf {a,\ b,\ d} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} \ ,$

பின்வரும் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி இவ்வாய்ப்பாட்டிற்குச் சமான வடிவங்களைக் காணலாம்:

$[\mathbf {b,\ c,\ d} ]\mathbf {a} -[\mathbf {c,\ d,\ a} ]\mathbf {b} +[\mathbf {d,\ a,\ b} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} =0\ .$

தொடர்புள்ள முடிவுகள்:

• $$|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).$$
• முப்பரிமாணத்தில் D என்ற திசையனை அடுக்களத் திசையன்களைக் கொண்டு ({A,B,C}) எழுதலாம்:

$$\mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .$$

மேற்கோள்கள்

• Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics. Scribner. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)

வெளி இணைப்புகள்

Weisstein, Eric W. "Vector Quadruple Product." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/VectorQuadrupleProduct.html