ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்

கணிதத்தில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம் (distance from a point to a line) என்பது ஒரு புள்ளிக்கும் ஒரு கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய தூரத்தைக் குறிக்கும். அப்புள்ளிக்குக் கோட்டிலிருந்து அமையும் செங்குத்துக் கோட்டின் போக்கில் தான் இரண்டிற்கும் இடையிலான மிகச்சிறிய தூரம் அமையும்.

கார்ட்டீசியன் ஆயங்கள்

கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:

ஒரு தளத்தில் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு:

ax + by + c = 0, ( a, b , c மெய்யெண்கள். a , b இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாகாது.)

(x₀,y₀) என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

$\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

நிறுவல் 1 (இயற்கணித முறை)

தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,

தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)

இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.

இச்செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு:

${\frac {n-y}{m-x}}={\frac {b}{a}}\,$

$a(n-y)-b(m-x)=0,$

$(a(n-y)-b(m-x))^{2}=0,$

$a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}-2ab(m-x)(n-y)=0.$

$a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}=2ab(m-x)(n-y).$--------(1)

மேலும்,

$[a(m-x)+b(n-y)]^{2}=a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}+2ab(m-x)(n-y),$

$a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}-2ab(m-x)(n-y),$--------(2)

(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:

$(a^{2}+b^{2})((m-x)^{2}+(n-y)^{2})=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}=(am+bn+c)^{2}.$

$[(m-x)^{2}+(n-y)^{2}]={\frac {(am+bn+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.$---------(3)

(m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:

$d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}$----------(4)

ஃ $d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

நிறுவல் 2 (வடிவவியல் முறை)

தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)

தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.

S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).

S -லிருந்து ax+by+c=0 -க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0

y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:

$|{\frac {c-d}{b}}|=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,$

முக்கோணம் SGF ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ ஆக இருக்கும்.

இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் GF -ன் நீளம்:

$GF=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,$

இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ -ஆல் வகுக்க பக்கம் SG-ன் மதிப்பு கிடைக்கிறது.

ஃ $SG={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\,$

திசையன் அமைப்பு

திசையன்கள் மூலம் தரப்படும் விளக்கம்.

கோட்டின் சமன்பாட்டைத் திசையன்கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}$

இங்கு n ஒரு அலகு திசையன்.

ஏதாவது ஒரு புள்ளி p-லிருந்து இக்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.$

இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

விளக்கம்

$\mathbf {a} -\mathbf {p}$ என்பது புள்ளி p -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி a -க்கு வரையப்பட்ட திசையன்.

$(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n}$ என்பது தரப்பட்ட கோட்டின் மீது $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ திசையனின் வீழலின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது.

அதாவது $((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ என்பது கோட்டின் மீதான $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ -ன் வீழல் திசையனைக் குறிக்கிறது.

இக்கோட்டிற்கு செங்குத்துத் திசையில் $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ -ன் கூறு:

$(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

எனவே இத்திசையனின் அளவே p -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் துரமாகும்.

$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.$